Henrijs Segermans: Materiāla harmonija matemātikā

2024 Autors: Seth Attwood | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-16 16:11

Saskaņā ar leģendu Pitagors bija pirmais, kurš atklāja, ka divas vienādi izstieptas stīgas izdod patīkamu skaņu, ja to garumi ir saistīti kā mazi veseli skaitļi. Kopš tā laika cilvēkus fascinē noslēpumainā skaistuma un matemātikas saikne, pilnīgi materiāla formu harmonija, vibrācijas, simetrija – un perfekta skaitļu un attiecību abstrakcija.

Šī saikne ir īslaicīga, taču taustāma, ne velti mākslinieki jau daudzus gadus izmanto ģeometrijas likumus un iedvesmojas no matemātikas likumiem. Henrijam Zēgermanam bija grūti atteikties no šī ideju avota: galu galā viņš pēc aicinājuma un profesijas ir matemātiķis.

Kleina pudele “Gatīvi pielīmējot divu Mobius sloksņu malas,” saka Henrijs Segermans, “jūs varat iegūt Kleina pudeli, kurai arī ir viena virsma. Šeit mēs redzam Kleina pudeli, kas izgatavota no Mobius sloksnēm ar apaļu malu.

Drīzāk, kā tas varētu izskatīties trīsdimensiju telpā. Tā kā oriģinālās “apaļās” Mobius sloksnes iet uz bezgalību, tad šāda Kleina pudele turpinās līdz bezgalībai divas reizes un šķērsos sevi, kas redzams skulptūrā. Šīs skulptūras palielināta kopija rotā Melburnas Universitātes Matemātikas un statistikas nodaļu.

Fraktāļi

"Es esmu dzimis zinātnieku ģimenē, un es domāju, ka mana interese par visu, kam nepieciešama progresīva telpiskā domāšana, ir saistīta ar to," saka Henrijs. Šobrīd viņš jau ir absolvējis Oksfordas maģistrantūras un doktorantūras studijas Stenfordas universitātēs, kā arī ieņem asociētā profesora amatu Oklahomas Universitātē.

Taču veiksmīga zinātniskā karjera ir tikai viena viņa daudzpusīgās personības puse: pirms vairāk nekā 12 gadiem matemātiķis sāka organizēt mākslas pasākumus … Second Life virtuālajā pasaulē.

Šis trīsdimensiju simulators ar sociālā tīkla elementiem toreiz bija ļoti populārs, ļaujot lietotājiem ne tikai sazināties vienam ar otru, bet arī aprīkot savus virtuālos "avatārus" un zonas izklaidei, darbam utt.

Vārds: Henrijs Segermans

Dzimis 1979. gadā

Izglītība: Stenfordas Universitāte

Pilsēta: Stillwater, ASV

Moto: "Ņemiet tikai vienu ideju, bet parādiet to pēc iespējas skaidrāk."

Segermans ieradās šeit, bruņojies ar formulām un skaitļiem, un matemātiski sakārtoja savu virtuālo pasauli, piepildot to ar vēl nebijušām fraktāļu figūrām, spirālēm un pat tesseraktiem, četrdimensiju hiperkubiem. "Rezultāts ir četrdimensiju hiperkuba projekcija Second Life trīsdimensiju Visumā, kas pati par sevi ir trīsdimensiju virtuālās pasaules projekcija uz divdimensiju plakanā ekrāna," atzīmē mākslinieks.

Hilberta līkne: nepārtraukta līnija aizpilda kuba telpu, nekad nepārtraucot vai šķērsojot sevi.

Hilberta līknes ir fraktāļu struktūras, un, tuvinot to, var redzēt, ka šīs līknes daļas seko veseluma formai. “Esmu tos tūkstošiem reižu redzējis ilustrācijās un datormodeļos, taču, kad pirmo reizi paņēmu rokās šādu 3D skulptūru, uzreiz pamanīju, ka tā ir arī atsperīga,” stāsta Zēgermans. "Matemātisko jēdzienu fiziskais iemiesojums vienmēr ar kaut ko pārsteidz."

Taču daudz vairāk viņam patika strādāt ar materiālām skulptūrām. "Ap mums visu laiku cirkulē milzīgs informācijas apjoms," saka Zēgermans. - Par laimi, reālajā pasaulē ir ļoti liels joslas platums, kas vēl nav pieejams tīmeklī.

Dodiet cilvēkam gatavu lietu, neatņemamu formu - un viņš to uzreiz uztvers visā tās sarežģītībā, negaidot ielādi. Tātad kopš 2009. gada Zēgermanis ir radījis nedaudz vairāk kā simts skulptūru, un katra no tām ir vizuāls un iespēju robežās precīzs fizisks abstraktu matemātisko jēdzienu un likumu iemiesojums.

Daudzskaldnis

Segermana māksliniecisko eksperimentu evolūcija ar 3D drukāšanu dīvainā kārtā atkārto matemātisko ideju evolūciju. Viens no viņa pirmajiem eksperimentiem bija klasiskās platoniskās cietvielas, piecu simetrisku figūru komplekts, kas salocīts regulāros trīsstūros, piecstūros un kvadrātos. Tiem sekoja pusregulāri daudzskaldņi – 13 Arhimēda cietvielas, kuru skaldnes veido nevienlīdzīgi regulāri daudzstūri.

Stenfordas truša 3D modelis izveidots 1994. gadā. Tas sastāv no gandrīz 70 000 trijstūriem, un tas kalpo kā vienkāršs un populārs programmatūras algoritmu veiktspējas tests. Piemēram, uz truša var pārbaudīt datu saspiešanas vai virsmas izlīdzināšanas efektivitāti datorgrafikai.

Tāpēc speciālistiem šī veidlapa ir tāda pati kā frāze "Ēdiet vairāk no šiem mīkstajiem franču rullīšiem" tiem, kam patīk spēlēties ar datora fontiem. Stenforda zaķa skulptūra ir tāds pats modelis, kura virsma ir bruģēta ar vārda zaķis burtiem.

Jau šīs vienkāršās formas, no divdimensiju ilustrācijām un ideālās iztēles pasaules migrējušas uz trīsdimensiju realitāti, izraisa iekšēju apbrīnu par to lakonisko un nevainojamo skaistumu. “Attiecības starp matemātisko skaistumu un vizuālo vai skaņu mākslas darbu skaistumu man šķiet ļoti trauslas.

Galu galā daudzi cilvēki ļoti labi apzinās vienu šī skaistuma formu, bet pilnīgi nesaprot otru. Matemātiskās idejas var pārvērst redzamās vai vokālās formās, bet ne visas un ne tuvu tik viegli, kā varētu šķist,”piebilst Zēgermans.

Drīz vien klasiskajām figūrām sekoja arvien sarežģītākas formas, līdz pat tādām, kuras diez vai varēja iedomāties Arhimēds vai Pitagors – regulāri daudzskaldņi, kas bez pārtraukuma aizpilda Lobačevska hiperbolisko telpu.

Šādas figūras ar neticamiem nosaukumiem, piemēram, "6. kārtas tetraedriska šūnveida" vai "sešstūraina mozaīkas šūnveida šūna", nav iedomājamas bez vizuāla attēla. Vai arī - kādu no Segermana skulptūrām, kas tās attēlo mums ierastajā trīsdimensiju eiklīda telpā.

Platoniskas cietvielas: tetraedrs, oktaedrs un ikosaedrs, kas salocīts regulāros trīsstūros, kā arī kubs un ikosaedrs, kas sastāv no kvadrātiem, kuru pamatā ir piecstūri.

Pats Platons tos saistīja ar četriem elementiem: "gludām" oktaedriskām daļiņām, viņaprāt, salocītu gaisu, "šķidrajiem" ikosaedriem - ūdeni, "blīviem" kubiem - zemi un asiem un "ērkšķiem" tretraedriem - uguni. Piekto elementu, dodekaedru, filozofs uzskatīja par ideju pasaules daļiņu.

Mākslinieka darbs sākas ar 3D modeli, kuru viņš būvē profesionālajā degunradžu iepakojumā. Kopumā tas beidzas šādi: pati skulptūru izgatavošana, modeļa drukāšana uz 3D printera, Henrijs vienkārši pasūta, izmantojot Shapeways, lielu 3D drukāšanas entuziastu tiešsaistes kopienu, un saņem gatavu priekšmetu, kas izgatavots no plastmasas vai tērauda un bronzas bāzes metāla matricas kompozītmateriāliem. "Tas ir ļoti vienkārši," viņš saka. "Jūs vienkārši augšupielādējat modeli vietnē, noklikšķiniet uz pogas Pievienot grozam, veiciet pasūtījumu, un pēc pāris nedēļām tas tiks piegādāts jums pa pastu."

Astoņas figūras papildinājums Iedomājieties, ka sasienat mezglu cietā materiāla iekšpusē un pēc tam noņemat to; atlikušo dobumu sauc par mezgla komplementu. Šis modelis parāda, ka ir pievienots viens no vienkāršākajiem mezgliem, astotnieks.

skaistums

Galu galā Segermana matemātisko skulptūru evolūcija mūs ieved sarežģītajā un burvīgajā topoloģijas laukā. Šī matemātikas nozare pēta plakanu virsmu un dažādu izmēru telpu īpašības un deformācijas, un tai ir svarīgas to plašākas īpašības nekā klasiskajai ģeometrijai.

Šeit kubu var viegli pārvērst par bumbu, piemēram, plastilīnu, un krūzīti ar rokturi var izrullēt virtulī, nesalaužot tajos neko svarīgu - labi zināms piemērs, kas iemiesots Segermana elegantajā Topoloģiskajā jokā.

Tesrakts ir četrdimensiju kubs: tāpat kā kvadrātu var iegūt, pārvietojot tam perpendikulāru segmentu attālumā, kas vienāds ar tā garumu, kubu var iegūt, līdzīgi kopējot kvadrātu trīs dimensijās un pārvietojot kubu. ceturtajā mēs "uzzīmēsim" tesseraktu jeb hiperkubu. Tam būs 16 virsotnes un 24 skaldnes, kuru projekcijas mūsu trīsdimensiju telpā maz izskatās pēc parasta trīsdimensiju kuba.

“Matemātikā ļoti svarīga ir estētiskā izjūta, matemātiķi mīl “skaistas” teorēmas,” apgalvo mākslinieks. - Grūti noteikt, no kā īsti šis skaistums sastāv, tāpat kā citos gadījumos. Bet es teiktu, ka teorēmas skaistums ir tās vienkāršībā, kas ļauj kaut ko saprast, saskatīt dažas vienkāršas sakarības, kas iepriekš šķita neticami sarežģītas.

Matemātiskā skaistuma centrā var būt tīrs, efektīgs minimālisms un pārsteigts izsauciens "Aha!". Matemātikas dziļais skaistums var būt tikpat biedējošs kā Sniega karalienes pils ledus mūžība. Tomēr visa šī aukstā harmonija vienmēr atspoguļo Visuma, kurā mēs dzīvojam, iekšējo sakārtotību un regularitāti. Matemātika ir tikai valoda, kas nepārprotami atbilst šai elegantajai un sarežģītajai pasaulei.

Paradoksālā kārtā tajā ir fiziskas atbilstības un pielietojumi gandrīz jebkuram apgalvojumam matemātisko formulu un attiecību valodā. Pat visabstraktākās un "mākslīgākās" konstrukcijas agrāk vai vēlāk atradīs pielietojumu reālajā pasaulē.

Topoloģisks joks: no noteikta viedokļa apļa un virtuļa virsmas ir "vienādas", vai, precīzāk sakot, tās ir homeomorfas, jo tās spēj pārveidoties viena par otru bez pārtraukumiem un līmēm, pateicoties pakāpeniska deformācija.

Eiklīda ģeometrija kļuva par klasiskās stacionārās pasaules atspoguļojumu, diferenciālrēķini noderēja Ņūtona fizikā. Neticamā Rīmaņa metrika, kā izrādījās, ir nepieciešama, lai aprakstītu Einšteina nestabilo Visumu, un daudzdimensiju hiperboliskās telpas ir atradušas pielietojumu stīgu teorijā.

Šajā dīvainajā abstrakto aprēķinu un skaitļu atbilstībā mūsu realitātes pamatiem, iespējams, slēpjas skaistuma noslēpums, ko mēs noteikti jūtam aiz visiem aukstajiem matemātiķu aprēķiniem.