Kas ir fraktāļi: matemātikas skaistums un bezgalība

2024 Autors: Seth Attwood | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-16 16:11

Fraktāļi ir pazīstami jau gadsimtu, ir labi pētīti un tiem ir daudz pielietojumu dzīvē. Tomēr šīs parādības pamatā ir ļoti vienkārša ideja: no salīdzinoši vienkāršām struktūrām var iegūt daudzas formas, kuru skaistums un daudzveidība ir bezgalīga, izmantojot tikai divas darbības - kopēšanu un mērogošanu.

Kas kopīgs kokam, jūras krastam, mākonim vai asinsvadiem mūsu rokās? No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka visiem šiem objektiem nav nekā kopīga. Tomēr patiesībā visiem uzskaitītajiem objektiem piemīt viena struktūras īpašība: tie ir līdzīgi. No zara, tāpat kā no koka stumbra, ir mazāki zari, no tiem - vēl mazāki utt., tas ir, zars ir kā viss koks.

Asinsrites sistēma ir sakārtota līdzīgi: no artērijām iziet arterioli, bet no tām - mazākie kapilāri, caur kuriem skābeklis nonāk orgānos un audos. Apskatīsim jūras piekrastes satelītattēlus: redzēsim līčus un pussalas; paskatīsimies uz to, bet no putna lidojuma: redzēsim līčus un zemesragus; Tagad iedomāsimies, ka mēs stāvam pludmalē un skatāmies uz savām kājām: vienmēr ir oļi, kas izvirzās ūdenī tālāk par pārējiem.

Tas nozīmē, ka, tuvinot, krasta līnija paliek līdzīga pati sev. Amerikāņu (lai gan audzis Francijā) matemātiķis Benuā Mandelbrots šo objektu īpašību nosauca par fraktalitāti, bet pašus šādus objektus - par fraktāļiem (no latīņu fractus - salauztiem).

Kas ir fraktālis?

Šim jēdzienam nav stingras definīcijas. Tāpēc vārds "fraktālis" nav matemātisks termins. Parasti fraktālis ir ģeometriska figūra, kas atbilst vienai vai vairākām šādām īpašībām: • Tam ir sarežģīta struktūra jebkurā palielinājumā (pretēji, piemēram, taisnai līnijai, kuras jebkura daļa ir visvienkāršākā ģeometriskā figūra - a līnijas segments). • Ir (aptuveni) sev līdzīgs. • Tam ir daļēja Hausdorfa (fraktāļu) dimensija, kas ir lielāka par topoloģisko. • Var veidot ar rekursīvām procedūrām.

Ģeometrija un algebra

Fraktāļu izpēte 19. un 20. gadsimta mijā bija drīzāk epizodiska, nevis sistemātiska, jo agrāk matemātiķi galvenokārt pētīja "labos" objektus, kurus varēja pētīt, izmantojot vispārīgas metodes un teorijas. 1872. gadā vācu matemātiķis Karls Veierštrāss izveido piemēru nepārtrauktai funkcijai, kas nekur nav diferencējama. Tomēr tā konstrukcija bija pilnīgi abstrakta un grūti uztverama.

Tāpēc 1904. gadā zviedrs Helge fon Kohs izgudroja nepārtrauktu līkni, kurai nekur nav pieskares, un to ir diezgan vienkārši uzzīmēt. Izrādījās, ka tam piemīt fraktāļa īpašības. Viens no šīs līknes variantiem tiek saukts par "Koča sniegpārsliņu".

Idejas par figūru līdzību smēlies francūzis Pols Pjērs Levī, topošais Benuā Mandelbro mentors. 1938. gadā viņš publicēja savu rakstu "Plaknes un telpiskās līknes un virsmas, kas sastāv no veselumam līdzīgām daļām", kurā aprakstīts vēl viens fraktāls - Levy C-līkne. Visi šie iepriekš minētie fraktāļi nosacīti var tikt attiecināti uz vienu konstruktīvo (ģeometrisko) fraktāļu klasi.

Vēl viena klase ir dinamiskie (algebriskie) fraktāļi, kas ietver Mandelbrota kopu. Pirmie pētījumi šajā virzienā aizsākās 20. gadsimta sākumā un ir saistīti ar franču matemātiķu Gastona Džūlijas un Pjēra Fatū vārdiem.1918. gadā tika publicēti gandrīz divsimt lappušu gari Džūlijas memuāri, kas veltīti sarežģītu racionālu funkciju atkārtojumiem, kuros aprakstītas Jūlijas kopas – vesela fraktāļu saime, kas ir cieši saistīta ar Mandelbrota kopu. Šis darbs tika apbalvots ar Francijas akadēmijas balvu, taču tajā nebija nevienas ilustrācijas, tāpēc nebija iespējams novērtēt atklāto priekšmetu skaistumu.

Neskatoties uz to, ka šis darbs slavināja Džūliju starp tā laika matemātiķiem, tas ātri tika aizmirsts. Tikai pusgadsimtu vēlāk datori atkal pievērsa uzmanību: tie bija tie, kas padarīja redzamu fraktāļu pasaules bagātību un skaistumu.

Fraktāļu izmēri

Kā zināms, ģeometriskās figūras izmērs (mērījumu skaits) ir koordinātu skaits, kas nepieciešams, lai noteiktu uz šīs figūras esošā punkta pozīciju.

Piemēram, punkta pozīciju uz līknes nosaka viena koordināte, uz virsmas (ne vienmēr plakne) ar divām koordinātām, trīsdimensiju telpā – pēc trim koordinātēm.

No vispārīgāka matemātiskā viedokļa dimensiju var definēt šādi: lineāro izmēru palielināšana, teiksim, divas reizes, viendimensijas (no topoloģiskā viedokļa) objektiem (segmentam) noved pie izmēra palielināšanās. (garums) divas reizes, divdimensiju (kvadrāts) vienāds lineāro izmēru palielinājums noved pie izmēra (laukuma) palielināšanās 4 reizes, trīsdimensiju (kubam) - 8 reizes. Tas ir, "īsto" (tā saukto Hausdorfa) dimensiju var aprēķināt kā objekta "izmēra" pieauguma logaritma attiecību pret tā lineārā izmēra pieauguma logaritmu. Tas ir, segmentam D = log (2) / log (2) = 1, plaknei D = log (4) / log (2) = 2, tilpumam D = log (8) / log (2)) = 3.

Tagad aprēķināsim Koha līknes dimensiju, kuras konstruēšanai vienības segments ir sadalīts trīs vienādās daļās un vidējais intervāls tiek aizstāts ar vienādmalu trīsstūri bez šī segmenta. Palielinoties minimālā segmenta lineārajiem izmēriem trīs reizes, Koha līknes garums palielinās log (4) / log (3) ~ 1, 26. Tas ir, Koha līknes izmērs ir daļējs!

Zinātne un māksla

1982. gadā tika izdota Mandelbrota grāmata "Dabas fraktāļu ģeometrija", kurā autors apkopoja un sistematizēja gandrīz visu tolaik pieejamo informāciju par fraktāļiem un izklāstīja to viegli un pieejamā veidā. Mandelbrots savā prezentācijā galveno uzsvaru lika nevis uz apgrūtinošām formulām un matemātiskām konstrukcijām, bet gan uz lasītāju ģeometrisko intuīciju. Pateicoties datorizētām ilustrācijām un vēsturiskajām pasakām, ar kurām autors prasmīgi atšķaidīja monogrāfijas zinātnisko komponentu, grāmata kļuva par bestselleru, bet fraktāļi kļuva zināmi plašākai sabiedrībai.

Viņu panākumi nematemātiķu vidū lielā mērā ir saistīti ar to, ka ar ļoti vienkāršu konstrukciju un vidusskolēnam saprotamu formulu palīdzību tiek iegūti pārsteidzošas sarežģītības un skaistuma tēli. Kad personālie datori kļuva pietiekami jaudīgi, mākslā parādījās pat vesela tendence - fraktāļu glezniecība, un ar to varēja nodarboties gandrīz jebkurš datora īpašnieks. Tagad internetā varat viegli atrast daudzas šai tēmai veltītas vietnes.

Karš un miers

Kā minēts iepriekš, viens no dabas objektiem ar fraktāļu īpašībām ir krasta līnija. Viens interesants stāsts ir saistīts ar viņu, pareizāk sakot, ar mēģinājumu izmērīt tā garumu, kas veidoja Mandelbrota zinātniskā raksta pamatu un ir aprakstīts arī viņa grāmatā "Dabas fraktāļu ģeometrija".

Šo eksperimentu iestudēja ļoti talantīgs un ekscentrisks matemātiķis, fiziķis un meteorologs Lūiss Ričardsons. Viens no viņa pētījumu virzieniem bija mēģinājums atrast matemātisku aprakstu bruņota konflikta cēloņiem un iespējamībai starp abām valstīm. Starp parametriem, ko viņš ņēma vērā, bija abu karojošo valstu kopīgās robežas garums. Vācot datus skaitliskiem eksperimentiem, viņš atklāja, ka dažādos avotos dati par Spānijas un Portugāles kopīgo robežu ir ļoti atšķirīgi.

Tas viņu pamudināja atklāt sekojošo: valsts robežu garums ir atkarīgs no lineāla, ar kuru mēs tās mērām. Jo mazāks mērogs, jo garāka ir robeža. Tas saistīts ar to, ka ar lielāku palielinājumu kļūst iespējams ņemt vērā arvien vairāk piekrastes līkumu, kas iepriekš tika ignorēti mērījumu nelīdzenuma dēļ. Un, ja ar katru mēroga palielinājumu atvērsies iepriekš neuzskaitītie līniju līkumi, tad izrādās, ka robežu garums ir bezgalīgs! Tiesa, patiesībā tas nenotiek – mūsu mērījumu precizitātei ir ierobežots ierobežojums. Šo paradoksu sauc par Ričardsona efektu.

Konstruktīvie (ģeometriskie) fraktāļi

Konstruktīva fraktāļa konstruēšanas algoritms vispārīgā gadījumā ir šāds. Pirmkārt, mums ir vajadzīgas divas piemērotas ģeometriskas formas, sauksim tās par pamatni un fragmentu. Pirmajā posmā tiek attēlots topošā fraktāļa pamats. Pēc tam dažas tā daļas tiek aizstātas ar fragmentu, kas uzņemts piemērotā mērogā - šī ir pirmā konstrukcijas iterācija. Tad iegūtā figūra atkal maina dažas daļas par figūrām, kas līdzīgas fragmentam utt.. Ja šo procesu turpinām bezgalīgi, tad limitā iegūstam fraktāli.

Apskatīsim šo procesu, kā piemēru izmantojot Koha līkni. Kā Koha līknes pamatu var ņemt jebkuru līkni ("Koča sniegpārsliņai" tas ir trīsstūris). Bet mēs aprobežosimies ar vienkāršāko gadījumu - segmentu. Fragments ir lauzta līnija, kas parādīta attēla augšdaļā. Pēc algoritma pirmās iterācijas šajā gadījumā sākotnējais segments sakritīs ar fragmentu, pēc tam katrs no tā sastāvā esošajiem segmentiem tiks aizstāts ar lauztu līniju, kas ir līdzīga fragmentam utt. Attēlā parādīti pirmie četri soļi šo procesu.

Matemātikas valodā: dinamiskie (algebriskie) fraktāļi

Šāda veida fraktāļi rodas nelineāro dinamisko sistēmu izpētē (tātad arī nosaukums). Šādas sistēmas uzvedību var aprakstīt ar sarežģītu nelineāru funkciju (polinomu) f (z). Paņemiet kādu sākuma punktu z0 kompleksajā plaknē (sk. sānjoslu). Tagad apsveriet šādu bezgalīgu skaitļu virkni kompleksajā plaknē, no kurām katra ir iegūta no iepriekšējās: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

Atkarībā no sākuma punkta z0 šāda secība var izturēties dažādi: tendence uz bezgalību kā n -> ∞; saplūst uz kādu gala punktu; cikliski ņemt vairākas fiksētas vērtības; iespējamas arī sarežģītākas iespējas.

Kompleksie skaitļi

Komplekss skaitlis ir skaitlis, kas sastāv no divām daļām - reālās un iedomātās, tas ir, formālās summas x + iy (šeit x un y ir reāli skaitļi). es esmu tā sauktais. iedomāta vienība, tas ir, skaitlis, kas apmierina vienādojumu i ^ 2 = -1. Matemātiskās pamatoperācijas tiek definētas pār kompleksajiem skaitļiem - saskaitīšana, reizināšana, dalīšana, atņemšana (nav definēta tikai salīdzināšanas darbība). Komplekso skaitļu attēlošanai bieži tiek izmantots ģeometriskais attēlojums - plaknē (to sauc par kompleksu), reālā daļa tiek uzlikta uz abscisu, bet iedomātā daļa uz ordinātām, savukārt kompleksais skaitlis atbildīs punktam ar Dekartu. koordinātas x un y.

Tādējādi jebkuram kompleksās plaknes punktam z ir savs uzvedības raksturs funkcijas f (z) iterāciju laikā, un visa plakne ir sadalīta daļās. Šajā gadījumā punktiem, kas atrodas uz šo daļu robežām, ir šāda īpašība: patvaļīgi mazai nobīdei to uzvedības raksturs krasi mainās (šādus punktus sauc par bifurkācijas punktiem). Tātad, izrādās, ka punktu kopām ar vienu noteiktu uzvedības veidu, kā arī bifurkācijas punktu kopām bieži ir fraktāļu īpašības. Šīs ir Jūlijas kopas funkcijai f (z).

Pūķu ģimene

Mainot bāzi un fragmentu, jūs varat iegūt pārsteidzošu daudzveidību konstruktīvos fraktāļus.

Turklāt līdzīgas darbības var veikt trīsdimensiju telpā. Tilpuma fraktāļu piemēri ir Mengera sūklis, Sierpinska piramīda un citi.

Pūķu ģimeni dēvē arī par konstruktīviem fraktāļiem. Dažreiz tos atklāj atklājēju vārdā "Hārtera šosejas pūķi" (pēc formas tie atgādina ķīniešu pūķus). Ir vairāki veidi, kā attēlot šo līkni. Vienkāršākais un intuitīvākais no tiem ir šāds: jums ir jāņem pietiekami gara papīra sloksne (jo plānāks papīrs, jo labāk) un jāpārloka uz pusēm. Pēc tam vēlreiz salieciet to divreiz tajā pašā virzienā kā pirmo reizi.

Pēc vairākiem atkārtojumiem (parasti pēc piecām vai sešām ielocēm sloksne kļūst pārāk bieza, lai to kārtīgi izlocītu tālāk), jums ir jāatloka sloksne atpakaļ un jāmēģina izveidot 90˚ leņķus pie ielocēm. Tad pūķa izliekums izrādīsies profilā. Protams, tas būs tikai aptuvens rādītājs, tāpat kā visi mūsu mēģinājumi attēlot fraktāļu objektus. Dators šajā procesā ļauj attēlot daudz vairāk soļu, un rezultāts ir ļoti skaista figūra.

Mandelbrota komplekts ir uzbūvēts nedaudz savādāk. Apsveriet funkciju fc (z) = z ^ 2 + c, kur c ir komplekss skaitlis. Konstruēsim šīs funkcijas secību ar z0 = 0, atkarībā no parametra c tā var novirzīties līdz bezgalībai vai palikt ierobežota. Turklāt visas c vērtības, kurām šī secība ir ierobežota, veido Mandelbrota kopu. To detalizēti pētīja pats Mandelbrots un citi matemātiķi, atklājot daudzas interesantas šīs kopas īpašības.

Ir redzams, ka Jūlijas un Mandelbrota kopu definīcijas ir līdzīgas viena otrai. Faktiski šīs divas kopas ir cieši saistītas. Proti, Mandelbrota kopa ir visas kompleksā parametra c vērtības, kurām ir pievienota Jūlijas kopa fc (z) (kopu sauc par savienotu, ja to nevar sadalīt divās nesavienotās daļās ar dažiem papildu nosacījumiem).

Fraktāļi un dzīve

Mūsdienās fraktāļu teorija tiek plaši izmantota dažādās cilvēka darbības jomās. Papildus tīri zinātniskam izpētes objektam un jau pieminētajai fraktāļu glezniecībai, fraktāļus informācijas teorijā izmanto grafisko datu saspiešanai (šeit galvenokārt tiek izmantota fraktāļu pašlīdzības īpašība - galu galā, lai atcerētos nelielu fragmentu no zīmējums un transformācijas, ar kurām jūs varat iegūt pārējās daļas, ir nepieciešams daudz mazāk atmiņas nekā visa faila glabāšanai).

Fraktāli definējošām formulām pievienojot nejaušas perturbācijas, var iegūt stohastiskos fraktāļus, kas ļoti ticami nodod dažus reālus objektus - reljefa elementus, ūdenstilpju virsmu, dažus augus, ko veiksmīgi izmanto fizikā, ģeogrāfijā un datorgrafikā, lai sasniegtu lielāku. simulēto objektu līdzība ar reālu. Elektronikā tiek ražotas antenas, kurām ir fraktāļu forma. Aizņemot maz vietas, tie nodrošina diezgan kvalitatīvu signāla uztveršanu.

Ekonomisti izmanto fraktāļus, lai aprakstītu valūtas kursa līknes (īpašība, ko atklāja Mandelbrots). Ar to noslēdzas šī mazā ekskursija pārsteidzoši skaistajā un daudzveidīgajā fraktāļu pasaulē.