Plakana, sfēriska vai hiperboliska mūsu Visuma forma?

2024 Autors: Seth Attwood | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-12-16 16:11

Mūsuprāt, Visums ir bezgalīgs. Šodien mēs zinām, ka Zemei ir sfēras forma, bet mēs reti domājam par Visuma formu. Ģeometrijā ir daudzas trīsdimensiju formas kā alternatīva "pazīstamajai" bezgalīgajai telpai. Autori skaidro atšķirību vispieejamākajā formā.

Skatoties naksnīgajās debesīs, šķiet, ka kosmoss turpinās mūžīgi visos virzienos. Tā mēs iztēlojamies Visumu, bet ne to, ka tā ir patiesība. Galu galā, bija laiks, kad visi domāja, ka Zeme ir plakana: zemes virsmas izliekums ir nemanāms, un doma, ka Zeme ir apaļa, šķita nesaprotama.

Šodien mēs zinām, ka Zeme ir sfēras formā. Bet mēs reti domājam par Visuma formu. Tā kā sfēra aizstāj plakano zemi, citas trīsdimensiju formas piedāvā alternatīvas "pazīstamajai" bezgalīgajai telpai.

Par Visuma formu var uzdot divus jautājumus – atsevišķus, bet savstarpēji saistītus. Viens ir par ģeometriju – rūpīgiem leņķu un laukumu aprēķiniem. Cits ir par topoloģiju: kā atsevišķas daļas saplūst vienā formā.

Kosmoloģiskie dati liecina, ka Visuma redzamā daļa ir gluda un viendabīga. Vietējā telpas struktūra katrā punktā un virzienā izskatās gandrīz vienāda. Šiem raksturlielumiem atbilst tikai trīs ģeometriskas formas - plakana, sfēriska un hiperboliska. Apskatīsim šīs formas pēc kārtas, dažus topoloģiskus apsvērumus un secinājumus, kas balstīti uz kosmoloģiskiem datiem.

Plakans visums

Patiesībā šī ir skolas ģeometrija. Trijstūra leņķi tiek summēti līdz 180 grādiem, un apļa laukums ir πr2. Vienkāršākais plakanas trīsdimensiju formas piemērs ir parasta bezgalīga telpa, matemātiķi to sauc par Eiklīda formu, taču ir arī citas plakanas iespējas.

Nav viegli iedomāties šīs formas, taču mēs varam savienot savu intuīciju, domājot divās dimensijās, nevis trīs. Papildus parastajai Eiklīda plaknei mēs varam izveidot citas plakanas formas, izgriežot plaknes gabalu un pielīmējot tās malas. Pieņemsim, ka mēs izgriezām taisnstūrveida papīra lapu un ar lenti aplīmējam tā pretējās malas. Ja jūs pielīmējat augšējo malu pie apakšējās malas, jūs iegūstat cilindru.

Labo malu var arī līmēt uz kreiso - tad iegūstam virtuli (matemātiķi šo formu sauc par toru).

Jūs droši vien iebildīsit: "Kaut kas nav ļoti plakans." Un tev būs taisnība. Mēs mazliet krāpāmies par plakano toru. Ja jūs patiešām mēģināt šādā veidā izveidot toru no papīra, jūs saskarsities ar dažām grūtībām. Cilindru izgatavot ir viegli, taču tā galus salīmēt neizdosies: pa tora iekšējo apli papīrs saburzīs, bet ārējam aplim ar to nepietiks. Tātad jums ir jāņem kaut kāds elastīgs materiāls. Bet stiepšanās maina garumu un leņķus, un līdz ar to arī visu ģeometriju.

Nav iespējams izveidot īstu gludu fizisku toru no plakana materiāla parastā trīsdimensiju telpā, neizkropļojot ģeometriju. Atliek abstrakti spekulēt par to, kā ir dzīvot plakanā torā.

Iedomājieties, ka esat divdimensiju būtne, kuras Visums ir plakans torus. Tā kā šī Visuma formas pamatā ir plakana papīra lapa, visi ģeometriskie fakti, kurus mēs esam pieraduši, paliek nemainīgi – vismaz ierobežotā mērogā: trijstūra leņķi summējas līdz 180 grādiem utt. Taču, mainoties globālajai topoloģijai, veicot apgriešanu un līmēšanu, dzīve krasi mainīsies.

Sākumā toram ir taisnas līnijas, kas veido cilpu un atgriežas sākuma punktā.

Uz izkropļota tora tie izskatās izliekti, bet plakana tora iemītniekiem tie šķiet taisni. Un tā kā gaisma virzās taisnā līnijā, tad, skatoties tieši jebkurā virzienā, redzēsi sevi no aizmugures.

Tas ir tā, it kā uz oriģinālā papīra gaisma būtu izgājusi jums cauri, nonākusi līdz kreisajai malai un pēc tam atkal parādīties labajā pusē, kā videospēlē.

Lūk, vēl viens veids, kā par to padomāt: jūs (vai gaismas stars) šķērsojat vienu no četrām malām un atrodaties jaunā telpā, bet patiesībā tā ir tā pati telpa, tikai no cita skatu punkta. Klīstot pa šādu Visumu, jūs saskarsities ar bezgalīgu skaitu oriģinālās telpas kopiju.

Tas nozīmē, ka jūs paņemsit bezgalīgi daudz sevis kopiju, lai kur arī jūs skatāties. Tas ir sava veida spoguļa efekts, tikai šīs kopijas nav gluži atspulgi.

Uz tora katrs no tiem atbilst vienai vai otrai cilpai, pa kuru gaisma atgriežas pie jums.

Tādā pašā veidā mēs iegūstam plakanu trīsdimensiju toru, pielīmējot kuba vai citas kastes pretējās malas. Mēs nevarēsim attēlot šo telpu parastā bezgalīgā telpā - tā vienkārši neiederēsies -, bet mēs varēsim abstrakti spekulēt par dzīvi tajā.

Ja dzīve divdimensiju torā ir kā nebeidzams divdimensiju identisku taisnstūrveida telpu masīvs, tad dzīve trīsdimensiju torā ir kā bezgalīgs trīsdimensiju identisku kubisku telpu masīvs. Arī jūs redzēsit bezgalīgi daudz savu kopiju.

Trīsdimensiju tors ir tikai viens no desmit galīgās plakanās pasaules variantiem. Ir arī bezgalīgas plakanas pasaules - piemēram, bezgalīga cilindra trīsdimensiju analogs. Katrai no šīm pasaulēm būs sava "smieklu istaba" ar "atspīdumiem".

Vai mūsu Visums varētu būt viena no plakanajām formām?

Kad mēs skatāmies kosmosā, mēs neredzam bezgalīgu skaitu mūsu pašu eksemplāru. Neatkarīgi no tā, plakano formu likvidēšana nav vienkārša. Pirmkārt, tiem visiem ir tāda pati lokālā ģeometrija kā Eiklīda telpai, tāpēc tos nebūs iespējams atšķirt ar vietējiem mērījumiem.

Pieņemsim, ka jūs pat redzējāt savu kopiju, šis attālais attēls parāda tikai to, kā jūs (vai jūsu galaktika kopumā) izskatījāties tālā pagātnē, jo gaisma ir nogājusi garu ceļu, līdz tā sasniedza jūs. Varbūt pat redzam savas kopijas – taču līdz nepazīšanai izmainītas. Turklāt dažādas kopijas atrodas dažādos attālumos no jums, tāpēc tās nav līdzīgas. Un turklāt tik tālu, ka joprojām neko neredzēsim.

Lai apietu šīs grūtības, astronomi parasti meklē nevis sevis kopijas, bet gan atkārtotas pazīmes vistālākajā redzamajā parādībā - kosmiskajā mikroviļņu fona starojumā, šī ir Lielā sprādziena relikts. Praksē tas nozīmē meklēt apļu pārus ar atbilstošiem karsto un auksto punktu rakstiem – tiek pieņemts, ka tie ir vienādi, tikai no dažādām pusēm.

Astronomi tieši šādu meklēšanu veica 2015. gadā, pateicoties Planka kosmiskajam teleskopam. Viņi apkopoja datus par sakrītošo apļu veidiem, kurus mēs sagaidām plakanā 3D torā vai citā plakanā 3D formā - tā sauktajā plāksnē -, taču viņi neko neatrada. Tas nozīmē, ka, ja mēs dzīvojam torā, tad tas šķiet tik liels, ka visi atkārtotie fragmenti atrodas ārpus novērojamā Visuma.

Sfēriska forma

Mēs esam ļoti pazīstami ar divdimensiju sfērām – tā ir bumbiņas, apelsīna vai Zemes virsma. Bet ko tad, ja mūsu Visums ir trīsdimensiju sfēra?

Trīsdimensiju sfēras zīmēšana ir sarežģīta, taču to ir viegli aprakstīt ar vienkāršu analoģiju. Ja divdimensiju sfēra ir visu punktu kopums, kas atrodas noteiktā attālumā no kāda centrālā punkta parastajā trīsdimensiju telpā, trīsdimensiju sfēra (jeb "trisfēra") ir visu punktu kopums, kas atrodas noteiktā attālumā no kāda. centrālais punkts četrdimensiju telpā.

Dzīve trisfērā ļoti atšķiras no dzīves plakanā telpā. Lai to vizualizētu, iedomājieties, ka esat divdimensiju būtne divdimensiju sfērā. Divdimensiju sfēra ir viss Visums, tāpēc jūs nevarat redzēt apkārtējo trīsdimensiju telpu un nevarat tajā iekļūt. Šajā sfēriskajā Visumā gaisma pārvietojas pa īsāko ceļu: lielos apļos. Bet šie apļi jums šķiet tieši.

Tagad iedomājieties, ka jūs un jūsu 2D draugs pavadāt laiku Ziemeļpolā un viņš devās pastaigā. Atkāpjoties, sākumā tas pakāpeniski samazināsies jūsu redzes lokā - kā jau parastajā pasaulē, lai gan ne tik ātri, kā esam pieraduši. Tas ir tāpēc, ka, pieaugot jūsu redzes lokam, jūsu draugs to aizņem arvien mazāk.

Bet, tiklīdz jūsu draugs šķērso ekvatoru, notiek kaut kas dīvains: viņš sāk palielināties, lai gan patiesībā viņš turpina attālināties. Tas ir tāpēc, ka procentuālais daudzums, ko tie aizņem jūsu redzes lokā, palielinās.

Trīs metru attālumā no Dienvidpola jūsu draugs izskatīsies tā, it kā viņš stāvētu trīs metrus no jums.

Sasniedzot Dienvidpolu, tas pilnībā aizpildīs visu jūsu redzamo horizontu.

Un, kad Dienvidpolā neviena nebūs, jūsu vizuālais horizonts būs vēl dīvaināks – tas esi jūs. Tas ir tāpēc, ka jūsu izstarotā gaisma izplatīsies pa visu sfēru, līdz tā atgriezīsies.

Tas tieši ietekmē dzīvi 3D jomā. Katram trisfēras punktam ir pretstats, un, ja tur ir kāds objekts, mēs to redzēsim visās debesīs. Ja tur nekā nav, mēs redzēsim sevi fonā – it kā mūsu izskats būtu uzlikts uz balona, pēc tam apgriezts iekšā un piepūsts līdz visam horizontam.

Bet, lai gan trisfēra ir sfēriskās ģeometrijas pamatmodelis, tā ir tālu no vienīgās iespējamās telpas. Kā mēs veidojām dažādus plakanos modeļus, griežot un līmējot Eiklīda telpas gabalus, tā mēs varam veidot sfēriskus, līmējot piemērotus trisfēras gabalus. Katrai no šīm līmētajām formām, tāpat kā toram, būs "smieklu istabas" efekts, tikai telpu skaits sfēriskās formās būs ierobežots.

Ko darīt, ja mūsu Visums ir sfērisks?

Pat visnarcistiskākie no mums neuzskata sevi par fonu naksnīgo debesu vietā. Bet, tāpat kā plakanā tora gadījumā, tas, ka mēs kaut ko neredzam, vispār nenozīmē, ka tā nav. Sfēriskā Visuma robežas var būt lielākas par redzamās pasaules robežām, un fons vienkārši nav redzams.

Bet atšķirībā no tora, sfērisku Visumu var noteikt, izmantojot vietējos mērījumus. Sfēriskās formas no bezgalīgās Eiklīda telpas atšķiras ne tikai ar globālo topoloģiju, bet arī ar mazo ģeometriju. Piemēram, tā kā taisnas līnijas sfēriskajā ģeometrijā ir lieli apļi, tur esošie trīsstūri ir "tuklāki" nekā Eiklīda trijstūri, un to leņķu summa pārsniedz 180 grādus.

Būtībā kosmisko trīsstūru mērīšana ir galvenais veids, kā pārbaudīt, cik izliekts ir Visums. Katram karstajam vai aukstajam punktam uz kosmiskā mikroviļņu fona ir zināms tā diametrs un attālums no Zemes, kas veido trīsstūra trīs malas. Mēs varam izmērīt leņķi, ko veido plankums naksnīgajās debesīs - un tas būs viens no trīsstūra stūriem. Pēc tam varam pārbaudīt, vai malu garumu un leņķu summas kombinācija atbilst plakanai, sfēriskai vai hiperboliskai ģeometrijai (kur trijstūra leņķu summa ir mazāka par 180 grādiem).

Lielākā daļa no šiem aprēķiniem kopā ar citiem izliekuma mērījumiem pieņem, ka Visums ir vai nu pilnīgi plakans, vai ļoti tuvu tam. Viena pētnieku grupa nesen ierosināja, ka daži no Planka kosmiskā teleskopa 2018. gada datiem vairāk runā par labu sfēriskam Visumam, lai gan citi pētnieki apgalvoja, ka iesniegtos pierādījumus var saistīt ar statistikas kļūdu.

Hiperboliskā ģeometrija

Atšķirībā no sfēras, kas aizveras pati, hiperboliskā ģeometrija jeb telpa ar negatīvu izliekumu atveras uz āru. Tāda ir platmalu cepures, koraļļu rifa un seglu ģeometrija. Hiperboliskās ģeometrijas pamatmodelis ir bezgalīga telpa, tāpat kā plakanā Eiklīda. Bet, tā kā hiperboliska forma izplešas uz āru daudz ātrāk nekā plakana, nav iespējams ievietot pat divdimensiju hiperbolisko plakni parastajā Eiklīda telpā, ja mēs nevēlamies izkropļot tās ģeometriju. Bet ir izkropļots hiperboliskās plaknes attēls, kas pazīstams kā Puankarē disks.

No mūsu viedokļa trijstūri, kas atrodas pie robežas apļa, šķiet daudz mazāki nekā tie, kas atrodas centra tuvumā, bet no hiperboliskās ģeometrijas viedokļa visi trīsstūri ir vienādi. Ja mēs mēģinātu attēlot šos trīsstūrus patiešām vienādos izmēros - iespējams, izmantojot elastīgu materiālu un katru trīsstūri pēc kārtas uzpūšot, virzoties no centra uz āru, mūsu disks atgādinātu cepuri ar platām malām un saliektos arvien vairāk. Un, tuvojoties robežai, šis izliekums kļūtu nekontrolējams.

Parastā Eiklīda ģeometrijā apļa apkārtmērs ir tieši proporcionāls tā rādiusam, bet hiperboliskajā ģeometrijā aplis pieaug eksponenciāli attiecībā pret rādiusu. Netālu no hiperboliskā diska robežas veidojas trīsstūru kaudze

Šīs īpašības dēļ matemātiķi mēdz teikt, ka hiperboliskajā telpā ir viegli apmaldīties. Ja tavs draugs attālinās no tevis parastajā eiklīda telpā, viņš sāks attālināties, bet diezgan lēni, jo tavs redzes loks neaug tik ātri. Hiperboliskajā telpā jūsu redzes loks paplašinās eksponenciāli, tāpēc jūsu draugs drīz saruks līdz bezgalīgi mazam plankumam. Tātad, ja jūs neesat sekojis viņa maršrutam, jūs, visticamāk, viņu neatradīsit vēlāk.

Pat hiperboliskajā ģeometrijā trijstūra leņķu summa ir mazāka par 180 grādiem – piemēram, dažu Puankarē diska mozaīkas trīsstūru leņķu summa ir tikai 165 grādi.

Šķiet, ka to malas ir netiešas, bet tas ir tāpēc, ka mēs skatāmies uz hiperbolisko ģeometriju caur kropļojošu lēcu. Puankarē diska iemītniekam šīs līknes patiesībā ir taisnas līnijas, tāpēc ātrākais veids, kā nokļūt no punkta A uz punktu B (abi malā), ir caur griezumu līdz centram.

Ir dabisks veids, kā izveidot Puankarē diska trīsdimensiju analogu - paņemiet trīsdimensiju bumbiņu un piepildiet to ar trīsdimensiju formām, kuras, tuvojoties robežsfērai, pakāpeniski samazinās, piemēram, trīsstūri Puankarē diskā. Un, tāpat kā ar plaknēm un sfērām, mēs varam izveidot veselu virkni citu trīsdimensiju hiperbolisku telpu, izgriežot piemērotus trīsdimensiju hiperboliskās bumbiņas gabalus un pielīmējot tās virsmas.

Nu, vai mūsu Visums ir hiperbolisks?

Hiperboliskā ģeometrija ar šauriem trīsstūriem un eksponenciāli augošiem apļiem nepavisam nav līdzīga telpai ap mums. Patiešām, kā mēs jau atzīmējām, lielākā daļa kosmoloģisko mērījumu ir vērsti uz plakanu Visumu.

Taču nevaram izslēgt, ka dzīvojam sfēriskā vai hiperboliskā pasaulē, jo nelieli abu pasauļu fragmenti izskatās gandrīz plakani. Piemēram, mazo trīsstūru leņķu summa sfēriskajā ģeometrijā ir tikai nedaudz lielāka par 180 grādiem, un hiperboliskajā ģeometrijā tā ir tikai nedaudz mazāka.

Tāpēc senie cilvēki domāja, ka Zeme ir plakana – Zemes izliekums nav redzams ar neapbruņotu aci. Jo lielāka ir sfēriskā vai hiperboliskā forma, jo plakanāka ir katra tā daļa, tādēļ, ja mūsu Visumam ir ārkārtīgi liela sfēriska vai hiperboliska forma, tā redzamā daļa ir tik tuvu plakanai, ka tā izliekumu var noteikt tikai ar īpaši precīziem instrumentiem, un mēs tos vēl neesam izgudrojuši….